математического анализа. Первым шагом
в этом направлении стал метод производящих функций, сформулированный Эйлером. Для определения количества
целочисленных неотрицательных решений линейного уравнения вида
В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида , которые могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов (по формуле Эйлера), из-за чего они являются частным случаем тригонометрических сумм[2]. Метод тригонометрических сумм, позволяющий оценивать число решений тех или иных уравнений или систем уравнений в целых числах играет большую роль в аналитической теории чисел. Основы метода разработал и впервые применил к задачам теории чисел И. М. Виноградов.
Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:
Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что
Чебышев показал, что число простых чисел, не превосходяших , обозначенное как , стремится к бесконечности по следующему закону:
В аналитической теории чисел для вывода и доказательства
утверждений о числах и числовых функциях используется мощный аппарат - , где — натуральные числа,
- , где — число решений изучаемого уравнения.
В работе над квадратичным законом взаимности Гаусс рассмотрел конечные суммы вида , которые могут быть представлены в виде суммы синусов и косинусов (по формуле Эйлера), из-за чего они являются частным случаем тригонометрических сумм[2]. Метод тригонометрических сумм, позволяющий оценивать число решений тех или иных уравнений или систем уравнений в целых числах играет большую роль в аналитической теории чисел. Основы метода разработал и впервые применил к задачам теории чисел И. М. Виноградов.
Работая над доказательством теоремы Евклида о бесконечности простых чисел Эйлер рассмотрел произведение по всем простым числам и сформулировал тождество:
- ,
Для доказательства теоремы о бесконечности простых чисел в общем виде Дирихле использовал произведения по всем простым числам, аналогичные эйлерову произведению, и показал, что
- ,
Чебышев показал, что число простых чисел, не превосходяших , обозначенное как , стремится к бесконечности по следующему закону:
- , где и [2].
Комментариев нет:
Отправить комментарий